Finanzas Matemáticas

En esta materia estudiamos la valuación de derivados en tiempo discreto y continuo: árboles binomiales, arbitraje y réplica en mercados completos, movimiento browniano, la fórmula de Itô y la ecuación de Black-Scholes. El hilo que atraviesa el programa es que toda decisión que puede postergarse esconde una opción, y que esa opción se puede valuar. El cierre de la materia fue el análisis del paper de McDonald y Siegel sobre cuándo conviene invertir en un proyecto irreversible.

El trabajo consistió en leer, presentar y reproducir ese paper: The Value of Waiting to Invest, de Robert McDonald y Daniel Siegel, publicado en el Quarterly Journal of Economics en 1986. Lo preparamos junto a Felipe Velarde, Elias Hwang y Mariano Sanchez, para la cátedra de Corina Averbuj. Lo que sigue es el resumen conceptual del análisis; al final están la simulación que corre las fórmulas del paper en vivo y la presentación completa.

El VAN responde bien la pregunta equivocada

La regla que todos aprendimos dice: calculá el valor presente de los beneficios, restale el costo, y si da positivo, invertí. El paper muestra que esa regla es incorrecta apenas la inversión cumple dos condiciones que se dan casi siempre en proyectos reales: es irreversible (la planta no sirve para otra cosa; el capital hundido no vuelve) y se puede diferir (nadie obliga a construirla hoy).

La asimetría es todo el paper en una línea: invertir es irreversible, esperar no lo es. Si invierto hoy y el mundo mejora, capturo la mejora; si empeora, me como la pérdida entera. Si espero, mantengo abierto el derecho a invertir mañana pasado mañana o nunca, y mientras tanto la incertidumbre se resuelve gratis.

Eso convierte la decisión en una comparación entre alternativas mutuamente excluyentes: no es "invertir vs. no invertir", es invertir hoy vs. invertir en el mejor momento futuro posible. Invertir hoy mata todas las alternativas futuras, y matarlas tiene un precio. El VAN clásico ignora ese precio: es el caso particular del problema general cuando el valor de esperar resulta ser cero.

La solución tiene forma de umbral, no de fecha

No se puede elegir la fecha óptima de inversión, porque el valor del proyecto $V$ es aleatorio: no sé hoy cuánto va a valer en tres años. Lo que sí se puede elegir es una regla de umbral: invertir el primer instante en que la razón entre el valor del proyecto y su costo, $V/F$, alcance un número $C^*$.

Modelando $V$ y $F$ como movimientos brownianos geométricos, McDonald y Siegel obtienen ese umbral y el valor de la oportunidad en forma cerrada:

$$C^* = \frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}, \qquad X = (C^* - 1)\, F_0 \left( \frac{V_0}{C^*F_0} \right)^{\varepsilon}$$

donde $\varepsilon > 1$ es la raíz de una cuadrática que resume todos los parámetros del problema. La estructura de $X$ se lee sola: premio × factor de descuento esperado. El premio $(C^*-1)F$ es lo que se cobra el día que se cruza el umbral —y es siempre el mismo, porque el cruce está definido justamente como el momento en que $V = C^*F$—; el segundo término es lo que vale hoy un peso pagadero recién cuando llegue ese día.

De ahí salen las dos conclusiones centrales. Primero, $C^* > 1$ siempre: el proyecto tiene que valer estrictamente más que su costo, y por un margen positivo determinado, no por un centavo. Segundo, la regla del VAN es el caso límite: se recupera solo si la varianza es cero o si esperar es infinitamente caro. Con parámetros razonables, el umbral está cerca de duplicar el costo de inversión.

Un ejemplo con números

Un proyecto que cuesta 50 millones (costo fijo), que hoy vale 70 millones, con tasa de descuento del 10%, apreciación esperada del 2% anual y volatilidad del 20%. La cuadrática queda $0.02\,\varepsilon^2 = 0.10$, así que $\varepsilon = \sqrt{5} \approx 2.24$ y

$C^* = \frac{2.24}{1.24} \approx 1.81$

El VAN de invertir ya es de 20 millones, positivo y nada despreciable: la regla clásica dice construir hoy. La regla correcta dice esperar hasta que el proyecto valga 90,5 millones, casi el doble del costo. Y la oportunidad de inversión, valuada como lo que es —una opción—, vale 22,8 millones: 2,8 millones más que el VAN, un 14% de valor que la firma que "invierte porque da positivo" está regalando sin enterarse.

Ese 14% no es un caso extremo elegido a propósito. En las tablas del paper, con la calibración de referencia, la opción de timing vale 0,23 por cada dólar de proyecto: invertir apenas el VAN cruza cero destruye el 23% del valor. La conclusión del paper es que la pérdida por adoptar un proyecto en el momento equivocado está fácilmente en el 10-20% o más.

Qué mueve el umbral: las estáticas comparativas

Esta es la parte que más nos sirvió, porque es la que se puede usar sin volver a resolver nada.

Más incertidumbre → más valor de esperar y umbral más alto. Es la asimetría en su forma más pura: estirar la distribución de futuros agranda la ganancia máxima posible (si el proyecto se dispara, invierto y cobro) y deja intacta la pérdida máxima (si se hunde, no invierto y pierdo cero). Estirar una distribución de la que te quedás con una cola y estás cubierto de la otra solo puede favorecerte. Y si la opción viva vale más, matarla ejerciéndola cuesta más: por eso $C^*$ también sube.

Pero lo que importa es la varianza del cociente, no la de cada pieza:

$\sigma^2 = \sigma_v^2 + \sigma_f^2 - 2\rho_{vf}\,\sigma_v\sigma_f$

De acá sale el resultado más contraintuitivo y el más útil: que el costo sea más incierto también aumenta el valor de esperar (podés atrapar la cola en que el costo se desploma), y una correlación alta entre valor y costo lo destruye. Si el proyecto y su costo se mueven juntos —los dos atados al precio del acero, digamos—, el cociente casi no fluctúa por más volátil que sea cada pieza: es una cobertura natural, y esperar deja de pagar. En el caso extremo $\rho = 1$ con volatilidades iguales, $\sigma^2 = 0$ y vuelve la regla del VAN.

El costo real de esperar es el payout, no el drift. Lo que se pierde por no invertir es el flujo de caja que el proyecto instalado ya estaría pagando: el paper lo llama $\delta_v$, y es la perilla económicamente significativa. Si es alto (un proyecto que rinde mucho desde el día uno), esperar es caro y el umbral baja hacia 1. Si tiende a cero, el umbral explota: nunca conviene invertir. El paper es explícito en que mirar los drifts por separado —subir la apreciación esperada dejando fija la tasa de descuento— es un artefacto algebraico: en equilibrio esas dos cosas no son independientes, están atadas por el riesgo del activo vía CAPM.

Y hay un contrapeso: la amenaza de perder el proyecto. Si existe la posibilidad de que el valor salte a cero —un competidor que se adelanta, una patente que cae—, esa mortalidad entra como una prima sumada a la tasa de descuento. La opción vale menos y el umbral baja: el riesgo de quedarse sin nada apura la inversión.

Para qué sirve

La utilidad práctica no es tanto calcular el $C^*$ exacto de un proyecto —para eso el modelo pide supuestos fuertes— sino tener un mapa de cuándo la regla usual está más equivocada. Esperar paga cuando la inversión es irreversible, la incertidumbre sobre el cociente valor/costo es alta, el proyecto no rinde mucho en sus primeros años y nadie te va a robar la oportunidad. Esperar no paga cuando el proyecto ya paga flujos abundantes, cuando el costo se mueve junto con el valor, o cuando hay competidores en la puerta. Un directorio que sabe leer esas cuatro variables ya toma mejores decisiones aunque nunca escriba la fórmula.

Además, el mismo modelo resuelve el problema espejo: la decisión de desguace. Basta reinterpretar $V$ como el precio de venta y $F$ como el valor del proyecto en marcha para obtener la regla simétrica de cuándo cerrar —no apenas la venta supera al negocio, sino cuando lo supera por un margen—. Con lo cual el paper también dice algo sobre por qué las empresas parecen tan reacias a cerrar operaciones que "ya no dan": puede no ser inercia, puede ser óptimo.

Las limitaciones son honestas y están en el propio paper: el browniano geométrico es defendible para valores presentes pero dudoso para precios de bienes físicos, la opción se asume perpetua (con vencimiento conocido no hay solución analítica), y la inversión se supone indivisible —si se pudiera invertir de a poco, el problema de esperar pierde fuerza—.

La simulación

Reproduce las Tablas I y II del paper: mové los parámetros y se recalculan $\varepsilon$, el umbral $C^*$ y el valor de la opción. La primera solapa muestra la curva del valor de la opción por encima del payoff del VAN, tocándolo con tangencia justo en $C^*$; la segunda simula trayectorias del cociente para ver la asimetría en acción: las que cruzan el umbral invierten y capturan la suba, el resto simplemente sigue esperando sin costo.

Abrirla a pantalla completa ↗

· El código está en

GitHub

, junto con las notas de estudio del paper.

La presentación

El deck completo que expusimos en clase: el planteo del problema, la derivación del umbral, el apéndice (Feynman-Kac y la ecuación característica), la tasa de descuento correcta vía CAPM, las tablas numéricas y las extensiones.

Descargar el PDF ↗

· 42 slides · Felipe Velarde, Elias Hwang, Mariano Sanchez y Agustín Bossart · UCEMA, 2026.